La première leçon

Na této stránce se používá SVG a MathML.
Firefox je umí a některé další prohlížeče se pro ně dají upravit.

V následující první části prvního cvičení se budeme bavit o přirozených číslech. Až to v druhé části tak nebude, výslovně to zmíníme.

Podle britských vědců už šestiměsíční dítě dokáže rozlišit sled dvou a tří jednoduchých akcí. Další výzkumníci zase přisoudili havranům schopnost počítat až do pěti: skupina mužů šla na věž odkud „ohrožovali” jeho hnízdo a pak po jednom odcházeli. Až do počtu pěti havran čekal až odejde poslední.

Počítat se ale dá bez čísel (nemáme tím na mysli algebru) slouží k tomu kamínky, vruby, kuličky ... Ještě na konci předminulého století někde ovčáci kontrolovali počet jim svěřených ovcí rytmickým opakováním „ovce - ovce - ovce - a ještě ovce”. Měli tříčtvrtinovou pravděpodobnost, pokud po takovémto odpočítávání zbyl stejný počet, že ovce nechybí (či nepřebývají) (leda by chyběl násobek čtyř). Vruby se našly i na kostech ve vykopávkách v sídle lovců mamutů u Dolních Věstonic. Kuličkové počítadlo možná známe. Kamínky k počítání ovcí vizte zde:

Vruby a vrubovky se používaly ještě před zhruba 150 lety. Odtud pochází známé úsloví „mít u někoho vroubek”.
(Na vrubovku se zaznávaly dluhy.) Nyní se ještě často místo vrubů používají čárky, vizte vedle:

Samotný počet - pro lidi od určitého stupně vývoje důležité - se podle některých autorů u různých objektů vyjadřoval různými slovy.
To se samozřejmě ukázalo jako nedůvodné a zbytečné a byl zaveden abstraktní pojem konkrétního čísla.
Příkladem: pět je počet pěti ovci, stejně tak i pěti stromů, pěti lidí atd.

Naše nynější převážné vyjadřování čisel je spojeno s dekadickou číselnou soustavou. Ve francouzské francouzštině i s původně snad galskými dvacítkami, například:
77 je soixante-dix-sept (60 10 7), 80 je quatre-vingts (4 20), 99 je quatre-vingt-dix-neuf (4 20 10 9) atd.
U nás se ještě historicky nedávno počítalo na tucty, půltucty, čvrttucty, kopy, půlkopy ≡ mandele, čtvrtkopy, veletucty (144).
Tento způsob můžeme nazvat znakověhodnotový, používá se i výraz aditivní či neposiční.
(I u posičních soustav mají znaky číslic hodnotu a sčítají se jejich hodnoty vynásobené hodnotami řádů.)
678 je jedenáct kop a jeden a půl tuctu.
332 je pět a půl kopy a dvě.
99 je jeden a půl kopy a bez tří tucet.
Analogicky k oněm pojmům se v různých kulturách pro různé číselné hodnoty objevovaly různé symboly nebo písmena sloužící i k psaní textů. Tak to bylo u starověkých Řeků ➡
a u Hebreů donedávna (jen jim při vyjádření čísla nesmělo vyjít Boží jméno ‑ to potom museli vybrat jinou variantu). U starověkých Egypťanů to byly speciální hieroglyfy ➡.

U starověkých Římanů ‑ jak dobře víme ‑ se používala následující písmena pro příslušné číselné hodnoty:

Římské číslice a jejich hodnoty (dekadicky)
I	V	X	L	C	D	M
1	5	10	50	100	500	1000

Dodejme, že navzdory modernímu usu u římských číslic bylo v těchto případech pořádí číslic libovolné.
678 je (novodobě) římsky DCLXXVIII.
332 je (novodobě) římsky CCCXXXII.
99 je (novodobě) římsky XCIX.

Pro zápis čísel zvítězily posiční soustavy. Indové v jeho vynalezení byli asi předběhnuti Mayi.

Mayské číslice a jejich hodnoty (dekadicky)
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19

V mexických školách se předvádí mayská soustava jakožto dvacítková psaná zleva (vyšší řády) doprava (k nižším řádům).
Mayové původně psali čísla zdola nahoru a pro přechod z prvního do druhého řádu měli hodnotu osmnáct. (Z nultého do prvního řádu to bylo 20 ‑ stejně jako z druhého a vyšších do těch následujících.)

	potom bylo 360 ‑ přibližný počet dní v roce. Ty dny, které chyběly do skutečné délky roku, se nepočítaly: bylo volno a slavilo se.

My dnes užíváme dekadický a hexagesimální (šedesátkový) zápis (pro zápis času a úhlů). U hexagesimálního stejně jako jeho mezopotámští vynálezci a uživatelé pro hodnoty šedesátkových „číslic” používáme desítkový zápis posiční a Mezopotámci používali neposiční (velký svislý klín pro desítky a menší nesvislý pro jednotky). Problém s mezopotámským zápisem byl, že neměli symbol pro 0. Vynechávali mezeru. Bylo tedy problémem jak mezeru mezi „šedesátkovými číslicemi” interpretovat: jako mezeru mezi nimi, jako 0 nebo 00 etc. (Náš šedesátkový zápis můžeme také chápat jako polopravidelný posiční, kdy se pro přechod z lichých řádů do sudých používá hodnota 10 a pro přechod ze sudých řádů do lichých používá hodnota 6.)

My se dále budeme zabývat pravidelnými posičními soustavami, kde se vždy pro přechod do následného řádu používá vždy tatáž hodnota - základ, podle níž onu soustavu nazýváme.
0 ≦ α_k < z, kde α_k jsou číslice a z základ soustavy (tedy ona hodnota, při níž se přechází do vyššího řádu).

						_n
	=	α_nα_n-1 … α₁ α₀	=	α_nzⁿ + α_{n - 1}z^n-1 + … + α₁z¹ + α₀z⁰	=	∑	α_kz^k.
						^{k = 0}
číselná hodnotá daná počtem kamínků		vyjádřená obvyklým způsobem		znamená hodnotu (polynomu)		alternativní matematický zápis

Představte si, že máte kamínkový kalkulátor, který s přirozenými čísly vyjádřenými počtem kamínků, umí základní aritmetické operace: sčítat, odečítat, násobit a dělit (se zbytkem) (výsledky jsou také přirozená čísla).

Tento vztah se dá použít dvojmo:	jak pro výpočet číselné hodnoty, když je dán sled číslic a hodnota základu
	tak potom pro zadanou číselnou hodnotu a pro zadaný základ spočítáte jednotlivé α_k

V soustavách se základem větším než 10 se jako další číslice používají písmena (anglické) abecedy: A = 10, B = 11, C = 12, …
Dnes se používá hlavně vyjádření dekadické ‑ velká část populace číselnou hodnotu ztotožnuje s jeho dekadickým vyjádřením ‑ v určitých případech šedesátkové a pak u počítačů dvojkové, šestnáctkové a osmičkové.
Pokud se číselná hodnota vyjadřuje v pravidelné soustavě o nějakém základě, pak se tento základ píše jako dolní pravý index.
Vyjádřit danou hodnotu v pravidelné posiční soustavě o zadaném základě můžeme následovně:

Naučte se staroegyptský způsob násobení:

Napíšeme oba činitele (součinu) dostatečně daleko od sebe. Jejich podtržením z nich uděláme záhlaví.
Rozdělíme oba činitele svislou (vhodně dlouhou) čárou.
Levý činitel se opíše pod vodorovnou čáru. Vpravo se pod vodorovnou čáru napíše 1.
Pak se ‑ v obou sloupcích ‑ na každý další řádek píše (počítá) dvojnásobek toho, co je v řádku nad ním,
tak dlouho, dokud je hodnota v pravém sloupci ≦ pravému činiteli (číslo vpravo nad vodorovnou čárou).
Od pravého činitele (toho, co je v pravém záhlaví) odečteme poslední číslo v pravém sloupci (největší mocninu 2 ≦ onomu činiteli).
Potom odspodu (od největších mocnin 2 v pravém sloupci k menším) na každém řádku,
je-li onen rozdíl (z posledního spočítaného) ≧ číslu v pravém sloupci (mocnina 2),
odečteme ono číslo v pravém sloupci příslušného řádku od onoho rozdílu ‑ dostaneme tak novou hodnotu rozdílu.
Není-li v právě počítaném řádku onen rozdíl (z posledního spočítaného) ≧ číslu v pravém sloupci, pak tento (právě počítaný) řádek „škrtneme”.
Pokud je v některém řádku spočítaný rozdíl = 0, všechny řádky nad ním také „škrtneme”.
Jakožto poslední krok výpočtu v levém sloupci všechna čísla v neškrtnutých řádcích sečteme ‑ dostaneme tak součin.
(Pro kontrolu, jestli jsme výpočet v pravém sloupci provedli dobře, můžeme v něm všechny neškrtnuté řádky také sečíst:
musíme dostat činitele ze záhlaví vpravo.)

Výpočet $\sqrt{x}$

(Jedním z mnoha způsobů.)

V této druhé části se budeme bavit o reálných číslech.

Naším úkolem je spočítat

y = \sqrt{x}

Používat můžeme výhradně jen základní aritmetické operace: sčítání, odečítání, násobení a dělení.

Můžeme celou „rovnici” (tedy obě její strany) umocnit (na druhou). Tím si ale nepomůžeme. Museli bychom znát to $y$ . (Které máme spočítat.)

Po krátkém zamyšlení si přiznáme, že platí-li pro aproximaci $a$ hodnoty $y$ , že $a^{2} < x$ , pak také platí $a < y$ , platí-li $a^{2} > x$ , pak také platí $a > y$ a platí-li $a^{2} = x$ , pak také platí $a = y$ .
Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že $x > 1$ . Platí-li, že $x < 1$ , pak můžeme vše převrátit a obrátit. (Je-li, že $x = 1$ , pak triviálně také $y = 1$ .)
Generujeme-li čísla, jakožto aproximaci $a$ , náhodně (třeba taháním číslic z klobouku nebo použitím generátoru pseudonáhodných čísel) z intervalu $❬ 1, x ❭$ ,
tak můžeme snadno najít největší $a$ z těch, které jsou menší než $y$ či nejmenší $a$ z těch, které jsou větší než $y$ a ty považovat za $y$ .
Tomu se říká metoda Monte Carlo, krom obvyklé nechuti k náhodnosti tento postup vede k většímu až velmi nadměrnému počtu pokusů …
Významným vylepšením by bylo, kdyby se náhodná čísla generovala z intervalu mezi výše zmíněnými největšími a nejmenšími čísly.

Následujícímu cílevědomému nenáhodnému postupu se někdy říká Newtonova metoda výpočtu druhé odmocniny,
přestože je mnohem starší než sir Isaac Newton (1643 .. 1727), je ale speciální aplikací mnohem obecnějšího Newtonova vzorce.

Pokud máme nějakou aproximaci $a < \sqrt{x}$ , pak $\frac{x}{a} > \sqrt{x}$ . Analogicky i $a > \sqrt{x}$ , pak $\frac{x}{a} < \sqrt{x}$ .

$a$	$<$	$b$	$<$	$\sqrt{x}$	převrátíme
$\frac{1}{a}$	$>$	$\frac{1}{b}$	$>$	$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$* x (x > 0)$
$\frac{x}{a}$	$>$	$\frac{x}{b}$	$>$	$\frac{x}{\sqrt{x}}$
$\frac{x}{a}$	$>$	$\frac{x}{b}$	$>$	$\frac{\sqrt{x} * \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$
$\frac{x}{a}$	$>$	$\frac{x}{b}$	$>$	$\frac{\sqrt{x}}{1}$
$\frac{x}{a}$	$>$	$\frac{x}{b}$	$>$	$\sqrt{x}$
$\sqrt{x}$	$<$	$\frac{x}{b}$	$<$	$\frac{x}{a}$

Q. E. D.

Symetricky pro druhý případ. Stejně tak, je-li $a < \sqrt{x}$ a zároveň $a \to \sqrt{x}$ , pak $\sqrt{x} \leftarrow \frac{x}{a}$ a opětovně i symetricky obráceně.
Jestliže se $a$ a $\frac{x}{a}$ potkají, pak $a = \frac{x}{a}$ a tedy $a^{2} = x$ , což znamená, že $a = \sqrt{x}$ .
Krom matematické symboliky použijeme animaci:

Můžeme směle konstatovat, že pro $a \in (1, x)$ $\sqrt{x}$ leží mezi $a$ a $\frac{x}{a}$ .

V následujícím budeme používat skutečností $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ ⇔ $\frac{d}{c} < \frac{b}{a}$ a $a - b < c - d$ ⇔ $d - c < b - a$ .

	Pro $a_{k} = \sqrt{x}$ výpočet končí ‑ samozřejmě s nějakou tolerancí.
$a_{k - 1} < \sqrt{x} \Rightarrow a_{k - 1} < a_{k} < \frac{x}{a_{k - 1}}, a_{k - 1} > \sqrt{x} \Rightarrow \frac{x}{a_{k - 1}} < a_{k} < a_{k - 1}, k = 0, 1, 2, 3, \dots$

	$a_{k - 1} < a_{k} < \sqrt{x}$	$a_{k - 1} < \sqrt{x} < a_{k}$	$a_{k} < \sqrt{x} < a_{k - 1}$	$\sqrt{x} < a_{k} < a_{k - 1}$
	$a_{k - 1} < a_{k} < \sqrt{x} < \frac{x}{a_{k}} < \frac{x}{a_{k - 1}}$	$a_{k - 1} < \frac{x}{a_{k}} < \sqrt{x} < a_{k} < \frac{x}{a_{k - 1}}$	$\frac{x}{a_{k - 1}} < a_{k} < \sqrt{x} < \frac{x}{a_{k}} < a_{k - 1}$	$\frac{x}{a_{k - 1}} < \frac{x}{a_{k}} < \sqrt{x} < a_{k} < a_{k - 1}$
	$\frac{x}{a_{k}} - a_{k} < \frac{x}{a_{k - 1}} - a_{k - 1}$	$a_{k} - \frac{x}{a_{k}} < \frac{x}{a_{k - 1}} - a_{k - 1}$	$\frac{x}{a_{k}} - a_{k} < a_{k - 1} - \frac{x}{a_{k - 1}}$	$a_{k} - \frac{x}{a_{k}} < a_{k - 1} - \frac{x}{a_{k - 1}}$


$\| \frac{x}{a_{k}} - a_{k} \| < \| \frac{x}{a_{k - 1}} - a_{k - 1} \|$

| b - c |

(můžeme místo toho také použít

max (b, c) - min (b, c)

) je vzdálenost dvou bodů (v jednorozměrném prostoru či dvou číselných hodnot)

b

c

bez ohledu na to, které je větší a které menší.

Vzájemná vzdálenost krajních bodů intervalu se v každém kroku zmenšuje.
Každým dalším ryze vnořeným intervalem je i nejzdálenější bod z onoho ryze vnořeného otevřeného intervalu blíže k

\sqrt{x}

.
Protože

lim_{x \to \infty} a_{k} = \sqrt{x}

, pak pro zadané

ε

můžeme výpočet zastavit, je-li splněna podmínka

| \sqrt{x} - a_{k} | < ε

.
Jakožto další aproximace (

a_{k}

) může být jakákoli hodnota z otevřeného intevalu

(max (b, c) - min (b, c))

.
Může to být cokoli snadno spočítatelného:

δ * a_{k - 1} + (1 - δ) * a_{k - 1}, δ \in (0, 1),)

či jakoukoli funkci

φ (z_{1}, z_{1})

, pro níž platí

z_{1} < φ (z_{1}, z_{2}) < z_{2}

.
Je samozřejmě lepší ‑ rychleji aproximuje (v méně krocích) ‑ když se další aproximace ‑

a_{k}

bere jinde, než někde těsně u jednoho či druhého kraje intervalu ‑ když se tedy bere někde poblíže

\sqrt{x}

.
Střed dvou hodnot

a_{k - 1}

\frac{x}{a_{k - 1}}

(

a_{k} = \frac{a_{k - 1} + \frac{x}{a_{k - 1}}}{2}

, ve výše uvedených vztazích

δ = \frac{1}{2}

nebo

φ (z_{1}, z_{2}) = \frac{z_{1} + z_{2}}{2}

)
je blíže k

\sqrt{x} než předchozí a_{k - 1} a proto ho můžeme mít za dobrou aproximaci.

Můžeme ale také použít méně rigorózní postup: víme, že pro každá

0 < b < c

platí

b < h(b, c) < g(b, c) < a(b, c) < c

,
kde

h(b, c)

je harmonický,

g(b,c)

geometrický a

a(b,c)

aritmetický průměr.
Průměr dvou hodnot vždy leží mezi svými argumenty.
(Výjma dvou stejných hodnot, pak je jim roven:

a(b, b) = g(b, b) = h(b, b) = b

.)
Geometrický průměr

g(a, \frac{x}{a})

\sqrt{x}

. To je to, co chceme spočítat.
Jestliže nahradíme geometrický průměr aritmetickým ‑ to je to, co máme ve výše uvedeném vzorci ‑ dostaneme se jen o trochu vedle.
Pak ale opakujeme totéž s o mnohem méně nepřesnou hodnotou ‑ dokud není splněna požadovaná přesnost.
(Pokud bychom geometrický průměr nahradili méně vhodným harmonickým, dostali bychom vzorec:

a = \frac{2 x}{a + \frac{x}{a}}

Reálná čísla vyjádřená algebraicky (například $\sqrt{x}$ ) anebo principiálně počítaná na jinak nevýhodných analogových počítačích mohou být přesná.
Pro reálná čísla u digitálních (číslicových) počítačů platí, že jsou sui generis „zrnitá”: nemůžeme dosáhnout absolutní přesnosti.
Stejná čísla se v závislosti na definici či výpočtu mohou lišit o to příslovečné „zrnko” a blíže se nemůžeme dostat.
Proto musíme pro přesnost výpočtu sami nějakou toleranci určit.
Kdybychom v předchozím úkolu zastavili opakování dalších výpočtů aproximací podmínkou $y^{2} = x$ ,
nemusel by se výpočet nikdy zastavit: přesná hodnota by byla mezi dvěma „zrnky”.
(Výpočet by stále opakoval hodnotu jednoho „zrnka” a druhá strana rovnosti by byla na druhém, byť sousedním.)
(Hrubost oné „zrnitosti” je dána počtem dvojkových číslic ‑ bitů, které reálné číslo v počítači representují.)
Jak zajistit pro zadané $ε$ požadovanou přesnost výpočtu $| \sqrt{x} - a | < ε$ bez použití $\sqrt{x}$ :

$\sqrt{x} > a$			$\sqrt{x} < a$
$\sqrt{x} - a$	$<$	$ε$	$- \sqrt{x} + a$	$<$	$ε$
$\sqrt{x}$	$<$	$a + ε$	$a - ε$	$<$	$\sqrt{x}$
$x$	$<$	${(a + ε)}^{2}$	${(a - ε)}^{2}$	$<$	$x$

Výpočet se tedy ukončí počítačově (Cčkově) vyjádřeno:

(a - ε) * (a - ε) < x && x < (a + ε) * (a + ε)

.

Při programování nezapomeňte, že v jazyku C cyklus běží, je-li podmínka splněna.

Výpočet x

Výpočet $\sqrt{x}$